专题 18 不等式选讲
【要点提炼】
1、(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求
解．
2、定理 1：如果 a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0时，等号成立．
定理 2：如果 a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，
等号成立．
3、算术—几何平均不等式
定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b时，等号成立．
定理 2：如果 a，b为正数，则≥，当且仅当 a＝b时，等号成立．
定理 3：如果 a，b，c为正数，则≥，当且仅当 a＝b＝c时，等号成立．
定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且
仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
考向
考向一 含有绝对值的不等式的解法
典例 1 设函数 f(x)＝|2x－a|＋5x，其中 a>0.
(1)当a＝3时，求不等式 f(x)≥5x＋1的解集；
(2)若不等式 f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求 a的值．
解 (1)当a＝3时，不等式 f(x)≥5x＋1，
即|2x－3|＋5x≥5x＋1，
即|2x－3|≥1，解得 x≥2或x≤1，
∴不等式 f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1或x≥2}．
(2)由f(x)≤0，得|2x－a|＋5x≤0，
即或
又a>0，∴不等式 f(x)≤0的解集为，
由题意得－＝－1，解得 a＝3.
规律方法 含绝对值不等式的解法
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；
②划区间、去绝对值符号；
③分别解去掉绝对值的不等式；
