专题 12 圆锥曲线的方程与性质
【要点提炼】
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|MF|=d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆:+=1(a>b>0)(焦点在 x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在 y轴上);
(2)双曲线:-=1(a>0,b>0)(焦点在 x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在 y轴
上);
(3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).
3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中 a,b,c之间的关系
① 在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为 e==.
② 在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为 e==.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
① 双曲线-=1(a>0 ,b>0) 的渐近线方程为 y=±x;焦点坐标 F1(-
c,0),F2(c,0).
② 双 曲 线 - = 1(a>0 ,b>0) 的 渐 近 线 方 程 为 y=±x, 焦 点 坐 标 F1(0 , -
c),F2(0,c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
① 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,准线方程 x=-.
② 抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F,准线方程 y=-.
4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦
设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为 k,直线与圆锥曲
线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=|x1-x2|==.
(2)过抛物线焦点的弦
抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F的弦 AB,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=,y1y2