专题 13 函数的图像与性质
【要点提炼】
1.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是
描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性
① 若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 y=f(x)的图象关于
直线 x=a对称;
② 若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x),则 y=f(x)的图象
关于点(a,0)对称.
2.函数的性质
(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范
步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异
减”的原则.
(2)奇偶性:①若 f(x)是偶函数,则 f(x)=f(-x).
②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0.
③ 奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对
称的单调区间内有相反的单调性.
(3)周期性:①若 y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立,
则y=f(x)是周期为 2a的周期函数.
②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线 x=a对称,则 f(x)是周期为 2|a|的周
期函数.
③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线 x=a对称,则 f(x)是周期为 4|a|的周
期函数.
④若f(x+a)=-f(x),则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误:函数的多个单调区间若不连续,不能用符
号“∪”连接,可用“和”或“,”连接.