专题 17 坐标系与参数方程
【要点提炼】
1、直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度
单位.如图,设 M是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),
则
2、几种常见曲线的参数方程
(1)圆以 O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是
其中 α是参数.
当圆心在(0,0)时,方程为其中 α是参数.
(2)椭圆
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中 φ是参数.
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中 φ是参数.
(3)直线
经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α的直线的参数方程是
其中 t是参数.
3、解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化
公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.
考向
考向一 极坐标方程
典例 1 (2020·四川省双流中学月考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C的方程为(x-3)2+(y-
4)2=25.以坐标原点 O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C的极坐标方程;
(2)直线 l1:θ=(ρ∈R),直线 l2:θ=(ρ∈R),若 l1,l2与曲线 C分别交于异于极点的 A,B
两点,求△AOB 的面积.
解 (1)∵曲线 C的普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,
即x2+y2-6x-8y=0.
∴曲线 C的极坐标方程为 ρ=6cos θ+8sin θ.
(2)设A,B.