专题 04 数列求和及综合应用
【要点提炼】
1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n2＝.
2.(1)数列通项 an与前 n项和 Sn的关系为 an＝
(2)应用 an与Sn的关系式 f(an，Sn)＝0时，应特别注意 n＝1时的情况，防止产生
错误.
3.数列求和
(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适
当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前 n项和，其中{an}，{bn}分别是等差
数列和等比数列.
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加
抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等
差数列，c为常数)的数列.
温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.
4.数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通
常利用点在曲线上给出 Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决
这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 .数列
与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.
考点一 数列求和及综合应用
考向一 an与Sn的关系问题
【典例 1】 设数列{an}的前 n项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an＝5Sn＋1成
立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前 n项和为 Tn，cn＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前 n项和 An，并求出 An的最值.
解 (1)因为 an＝5Sn＋1，n∈N*，
所以 an＋1＝5Sn＋1＋1，
