(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面 PAD；
(3)平面 PCD⊥平面 PAD.
证 明 依 题 意 ， 以 点 A为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 (如 图 )， 可 得
B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱 PC 的中点，得
E(1，1，1).
(1)向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0.
所以 BE⊥DC.
(2)因为 AB⊥AD，又 PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，
所以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD，
所以 AB⊥平面 PAD，
所以向量AB＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量，
而BE·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 BE⊥AB，
又BE⊄平面 PAD，
所以 BE∥平面 PAD.
(3)由(2)知平面 PAD 的法向量AB＝(1，0，0)，向量PD＝(0，2，－2)，DC＝
(2，0，0)，
设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则即
不妨令 y＝1，可得 n＝(0，1，1)为平面 PCD 的一个法向量.
且n·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 n⊥AB.
所以平面 PAD⊥平面 PCD.
探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利
用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要
素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立
