(1)BE⊥DC;
(2)BE∥平面 PAD;
(3)平面 PCD⊥平面 PAD.
证 明 依 题 意 , 以 点 A为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 (如 图 ), 可 得
B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱 PC 的中点,得
E(1,1,1).
(1)向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),故BE·DC=0.
所以 BE⊥DC.
(2)因为 AB⊥AD,又 PA⊥平面 ABCD,AB⊂平面 ABCD,
所以 AB⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面 PAD,
所以 AB⊥平面 PAD,
所以向量AB=(1,0,0)为平面 PAD 的一个法向量,
而BE·AB=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以 BE⊥AB,
又BE⊄平面 PAD,
所以 BE∥平面 PAD.
(3)由(2)知平面 PAD 的法向量AB=(1,0,0),向量PD=(0,2,-2),DC=
(2,0,0),
设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z),
则即
不妨令 y=1,可得 n=(0,1,1)为平面 PCD 的一个法向量.
且n·AB=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以 n⊥AB.
所以平面 PAD⊥平面 PCD.
探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利
用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要
素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立