专题 15 导数与函数的单调性、极值、最值问题
【要点提炼】
1.导数的几何意义
函数 f(x) 在x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在
点P处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点 P处的切线还是过点 P的切线，
前者点 P为切点，后者点 P不一定为切点.
2.四个易误导数公式
(1)(sin x)′＝cos x；
(2)(cos x)′＝－sin x；
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且 a≠1)；
(4)(logax)′＝(a>0，且 a≠1，x>0).
3.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>0 是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单
调递增，但 f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f′(x)
＝0时，则 f(x)为常数函数.
(2)利用导数研究函数单调性的方法.
① 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0
或f′(x)<0.
② 若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成
立问题来求解.
4.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若在 x0附近左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0附
近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值.
(2)设函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上必有最大
值和最小值且在极值点或端点处取得.
