函数的奇偶性
1函数的奇偶性一.奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么
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函数的奇偶性
一.奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( - x ) = f ( x ) ,那么
函数 f(x)是偶函数 关于 y
轴 对称
奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( - x ) =- f ( x ) ,那
么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称
(1)判断函数奇偶性的常用方法:
①定义法
前提:确定函数定义域,判断定义域是否关于原点对称;
当 时,也可用 来判断。
②图象法
③性质法
奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数
和 奇 偶
差 奇 偶
积 偶 奇 偶
商 偶 奇 偶
重要结论:
①若奇函数 在原点处有意义,则 = 0 .
②奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反。
(2)应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法:
①求函数值;
②求解析式;
③求函数解析式中参数的值;
❹利用奇偶性画图像和判断单调性。
考点一:奇偶性的判断与简单应用
1.下列函数中,既是奇函数,又是增函数的为( )
2.下列说法正确的是( )
A.偶函数的图象一定与 y轴相交 B.奇函数 y=f(x)在x=0处有定义,则 f(0)=0
C.奇函数 y=f(x)的图象一定过原点 D.图象过原点的奇函数必是单调函数
3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )
A.
2
f
(
x
)
=ax2+bx+3a+b
(
a−1≤x≤2a
)
f
(
x
)
=ax2+bx+3a+b
(
a−1≤x≤2a
)
的值( )
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负
5.若 f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx( )
A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数
6. 若函数
f
(
x
)
=ax2+bx+3a+b
(
a−1≤x≤2a
)
=0
7.若函数 f(x)=为奇函数,则 a等于( )
A. B. C. D.1
8.若函数 是偶函数,则
的递减区间是_____________.
9. 设f(x)=lg(+a)是奇函数,且在 x=0处有意义,则该函数是( )
A. (-∞,+∞)上的减函数 B. (-∞,+∞)上的增函数
C. (-1,1)上
减函数 D. (-1,1)上的增函数
10.设函数 ,则 ( )
A. 是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
11.已知函数
性质描述正确的是( )
A.是奇函数,且在 R上是增函数 B.是偶函数,且在 R上是增函数
C.是奇函数,且在 R上是减函数 D.是偶函数,且在 R上是减函数
12.设函数 ,则下列函数中为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
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