《导数的应用——利用导数证明不等式》达标检测
[A 组]—应知应会
1．(2020·河南豫南九校联考)设定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)的导函数 f′(x)满足 xf′(x)>1，则( )
A．f(2)－f(1)>ln 2 B．f(2)－f(1)<ln 2
C．f(2)－f(1)>1 D．f(2)－f(1)<1
【解析】选 A.根据题意，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，则 xf′(x)>1⇒f′(x)>＝(ln x)′，即 f′(x)－(ln x)′>0.
令F(x)＝f(x)－ln x，则 F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故 f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，即 f(2)－f(1)>ln 2.
2．（2020•定海区校级模拟）若0<x1<x2<1，则( )
A．ex2－ex1>ln x2－ln x1
B．e x2－e x1<ln x2－ln x1
C．x2ex1>x1ex2
D．x2ex1<x1ex2
【解析】选 C.令f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
当0<x<1 时，f′(x)<0，
即f(x)在(0，1)上单调递减，因为 0<x1<x2<1，
所以 f(x2)<f(x1)，即<，
所以 x2ex1>x1ex2，故选 C.
3．（2020 春•宁波期末）已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)设x＝2是函数 f(x)的极值点，求实数 a的值，并求 f(x)的单调区间；
(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0.
【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝.
从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
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