圆锥曲线—常用的八种方法
1、定义法
(1)椭圆有两种定义。第一定义中,
第二定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 (即椭圆的离心
率, )的点的集合为椭圆。
(2)双曲线有两种定义。
第一定义:平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的
距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
第一定义中, ,当 r1>r2时,注意 r2的最小值为 c-a:
第二定义:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数 e(e为双曲线的离心
率,e>1)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。双
曲线准线的方程为(焦点在 x轴上)或(焦点在 y轴上)。
第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 r与“点到准
线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化
为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲
线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注
意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法
解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解
决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点
问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB 中点为 M(x0,y0),将点
A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设
而不求”法,具体有:
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