《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》
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[A 组]—应知应会
1．已知函数 f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a的取值范围是(
)
A．a≤1 B．a≥1
C．a≤2 D．a≥2
【解析】选A.由题意知 f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为 f(x)min ＝5，g(x)min ＝4＋a，所以 5≥4＋a，即
a≤1，故选 A.
2．(2020·吉林白山联考)设函数 f(x)＝ex－，若不等式 f(x)≤0 有正实数解，则实数 a的最小值为_______
_．
【解析】原问题等价于存在 x∈(0，＋∞)，使得 a≥ex(x2－3x＋3)，令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，x∈(0，＋
∞)，则a≥g(x)min，而g′(x)＝ex(x2－x)．由 g′(x)>0 可得 x∈(1，＋∞)，由g′(x)<0 可得 x∈(0，1)．据此可知，
函数 g(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为 g(1)＝e.综上可得，实数 a的最小值为 e.
3．(2020·西安质检)已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝x－1.
(1)求函数 y＝f(x)的图象在 x＝1处的切线方程；
(2)若不等式 f(x)≤ag(x)对任意的 x∈(1，＋∞)均成立，求实数 a的取值范围．
【解析】(1)因为 f′(x)＝，
所以 f′(1)＝1.
又f(1)＝0，所以切线的方程为 y－f(1)＝f′(1)(x－1)，
即所求切线的方程为 y＝x－1.
(2)易知对任意的 x∈(1，＋∞)，f(x)＞0，g(x)＞0.
①当a≥1 时，f(x)≤g(x)≤ag(x)；
②当a≤0 时，f(x)＞0，ag(x)≤0，所以不满足不等式 f(x)≤ag(x)；
③当0＜a＜1时，设φ(x)＝f(x)－ag(x)＝ln x－a(x－1)，则φ′(x)＝－a，
令φ′(x)＝0，得x＝，
当x变化时，φ′(x)，φ(x)的变化情况下表：
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