《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》
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[A 组]—应知应会
1.已知函数 f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈,∃x2∈[2,3],使得 f(x1)≥g(x2),则实数 a的取值范围是(
)
A.a≤1 B.a≥1
C.a≤2 D.a≥2
【解析】选A.由题意知 f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3]),因为 f(x)min =5,g(x)min =4+a,所以 5≥4+a,即
a≤1,故选 A.
2.(2020·吉林白山联考)设函数 f(x)=ex-,若不等式 f(x)≤0 有正实数解,则实数 a的最小值为_______
_.
【解析】原问题等价于存在 x∈(0,+∞),使得 a≥ex(x2-3x+3),令g(x)=ex(x2-3x+3),x∈(0,+
∞),则a≥g(x)min,而g′(x)=ex(x2-x).由 g′(x)>0 可得 x∈(1,+∞),由g′(x)<0 可得 x∈(0,1).据此可知,
函数 g(x)在区间(0,+∞)上的最小值为 g(1)=e.综上可得,实数 a的最小值为 e.
3.(2020·西安质检)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=x-1.
(1)求函数 y=f(x)的图象在 x=1处的切线方程;
(2)若不等式 f(x)≤ag(x)对任意的 x∈(1,+∞)均成立,求实数 a的取值范围.
【解析】(1)因为 f′(x)=,
所以 f′(1)=1.
又f(1)=0,所以切线的方程为 y-f(1)=f′(1)(x-1),
即所求切线的方程为 y=x-1.
(2)易知对任意的 x∈(1,+∞),f(x)>0,g(x)>0.
①当a≥1 时,f(x)≤g(x)≤ag(x);
②当a≤0 时,f(x)>0,ag(x)≤0,所以不满足不等式 f(x)≤ag(x);
③当0<a<1时,设φ(x)=f(x)-ag(x)=ln x-a(x-1),则φ′(x)=-a,
令φ′(x)=0,得x=,
当x变化时,φ′(x),φ(x)的变化情况下表:
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