函数的基本性质
一、函数的单调性
(1)增函数:若对于定义域内的某个区间
上的任意两个自变量
、
,当
时,都有
,那么就说函数
在区间
上是增函数;
(2)减函数:若对于定义域内的某个区间
上的任意两个自变量
、
,当
时,都有
,那么就说函数
在区间
上是减函数.
判断函数单调性的方法:
1.定义法:作差法与作商法(常用来函数单调性的证明,一般使用作差法).
2.图像法:对于基本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3.性质法:
(1)增函数
增函数
增函数,减函数
减函数
减函数,增函数
减函数
增函数,减函数
增函数
减函数;
(2)函数
与函数
的单调性相反;
(3)
时,函数
与
的单调性相反(
);
时,函数
与
的单调性相同(
).
4. 导数法:
在区间 D 上恒成立,则函数
在区间 D 上单调递增;
在区间 D 上恒
成立,则函数
在区间 D 上单调递减.
5.复合函数法:对于函数
,可设内层函数为
,外层函数为
,可以利用
复合函数法来进行求解,遵循“同增异减”,即内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相同,则函数
在 区 间 D 上 单 调 递 增 ; 内 层 函 数 与 外 层 函 数 在 区 间 D 上 的 单 调 性 相 反 , 则 函 数
在区间 D 上单调递减.
考点 1 单调性的判定和证明
1、设 x1,x2 为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:
①[
0))()(( 2121 xfxfxx )(
; ②
0))()(( 2121 xfxfxx )(
;
③
; ④