第43讲 利用空间向量求空间角和距离（达标检测）（解析版）
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第43 讲 利用空间向量求空间角和距离（达标检测）
[A 组]—应知应会
1．（2020•让胡路区校级三模）在长方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的
中点， ，则异面直线 与 所成角的大小为
A．B．C．D．
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，得出 的坐标，代入数量积公式运算，可
得两个向量互相垂直，进一步确定异面直线 与 所成角的大小．
【解答】解：如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空
间直角坐标系 ，
设 ，则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ， ，
，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 ．
故选： ．
2．（2020 春•济宁期末）已知正四棱柱 中， ， ，则直线 和 所成
的角的余弦值为
2
A．B．C．D．
【分析】以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量求解空间角．
【解答】解：如图，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ， ， ， ．
， ．
．
直线 和 所成的角的余弦值为 ．
故选： ．
3．（2020 春•如东县期末）在长方体 中， ， ，则直线 与平面
所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直
线 与平面 所成角的正弦值．
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