第53讲 圆锥曲线的综合应用-最值、范围问题（达标检测）（解析版）
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《圆锥曲线的综合应用——最值、范围问题》达标检测
[A 组]—应知应会
1．（2020•庐阳区校级模拟）已知 P为抛物线 y2＝4x上一点，Q为圆（x6﹣）+y2＝1上一点，则|PQ|的最
小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设点 P的坐标为（ m2，m），圆（x6﹣）2+y2＝1的圆心坐标 A（6，0），求出|PA|的最小值，
即可得到|PQ|的最小值．
【解答】解：设点 P的坐标为（ m2，m），圆（x6﹣）2+y2＝1的圆心坐标 A（6，0），
|∴PA|2＝（ m26﹣）2+m2＝ （m216﹣）2+20≥20，
|∴PA|≥2 ，
∵Q是圆（x6﹣）2+y2＝1上任意一点，
|∴PQ|的最小值为 2 1﹣，
故选：C．
2．（2020•东湖区校级模拟）已知双曲线 C： ﹣y2＝1的离心率为 ，过点 P（2，0）的直线 l与双曲
线C交于不同的两点 A、B，且∠AOB 为钝角（其中 O为坐标原点），则直线 l斜率的取值范围是（
）
A．B．（﹣ ，0）∪（0， ）
C．D．
【分析】利用双曲线的离心率求出 m，得到双曲线方程，设出直线方程，设出 AB 坐标，利用韦达定理
结合向量的数量积转化求解 k的范围即可．
【解答】解：由题意双曲线 C： ﹣y2＝1的离心率为 ，得 ，解得 m＝2，
2
双曲线 C： ﹣y2＝1，
设直线 l：x＝ty+2，与双曲线 C联立得：（t22﹣）y2+4ty+2＝0，设点 A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1y2＝ ，x1x2＝t2y1y2+2t（y1+y2）+4＝ ，又因为∠AOB 为钝角，所以 y1y2+x1x2＜0，
即 ＜0得出 t22﹣＞0，所以直线 l的斜率 k2＝ ，
即直线 l斜率的取值范围是 ，
故选：A．
3．（2020•梅河口市校级模拟）已知抛物线 y2＝4x的焦点为 F，过 F的直线与抛物线交于 A，B两点，A位
于第一象限，则|AF|+3|BF|的最小值是（ ）
A．2 B．2 +1 C．2 +2 D．2 +4
【分析】设直线 AB 的方程为 x＝my+1，A（ ，y1），B（ ，y2），联立直线与抛物线的方程消
元，然后利用韦达定理可得 ，然后根据抛物线的定义可得|AF|+3|BF|＝ ，再利
用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：抛物线的焦点 F（1，0），设直线 AB 的方程为：x＝my+1，
联立方程组 ，消去 x得：x2﹣（4m2+2）x+1＝0，
设A（ ，y1），B（ ，y2），
则有 ，即 ，
由抛物线的定义可得|AF|＝ ，|BF|＝+1＝ ，
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