第54讲 圆锥曲线的综合应用-证明、探究性问题（达标检测）（解析版）
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《圆锥曲线的综合应用——证明、探究性问题》达标检测
[A 组]—应知应会
1．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线 的左焦点为 F1，过 F1的直线 l
与y轴相交于点 M，与 C的右支相交于点 P，且 M为线段 PF1的中点，若 C的渐近线上存在一点 N，使
得 ，则 C的离心率为（ ）
A．B．C．2 D．
【 分 析 】 由 题 可 知 ， F1（ ﹣ c，0） ， 直 线 l的 斜 率 一 定 存 在 ， 设 其 方 程 为 y＝k（x+c） ， 则
M（0，kc），P（c，2kc），
将点 P的坐标代入双曲线 C的方程，有 ①，由平面向量的线性坐标运算可得点 N（
， ），代入 y＝x得 ＝ ②，联立①②，消去 k，并结合离心率 e＝ 即可得解．
【解答】解：由题可知，F1（﹣c，0），直线 l的斜率一定存在，设其方程为 y＝k（x+c），则
M（0，kc），
∵M为线段 PF1的中点，∴点 P（c，2kc），
将其代入双曲线 C的方程，有 ①，
∵，∴点 N（ ， ），且点 N在渐近线 y＝x上，
2
∴＝②，
联立①②，消去 k得， ，
∴离心率 e＝＝，
故选：B．
2．（2020•绥化模拟）已知对任意正实数 m，n，p，q，有如下结论成立：若 ，则有 成立，
现已知椭圆 ＝1上存在一点 P，F1，F2为其焦点，在△PF1F2中，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝
75°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【 分 析 】 结 合 正 弦 定 理 和 题 中 的 新 定 义 可 知 ， ， 从 而
，结合正弦的两角和差公式分别算出 sin15°和sin75°，代入上式进行化
简即可得离心率 的值．
【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理知， ，
依题意，有 ，
所以 ，即 ，
sin15°+sin75°＝sin15°+cos15°＝sin（45°+15°）＝
所以离心率 e＝ ＝ ＝ ．
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