第54讲 圆锥曲线的综合应用-证明、探究性问题(达标检测)(解析版)
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《圆锥曲线的综合应用——证明、探究性问题》达标检测
[A 组]—应知应会
1.(2020•沙坪坝区校级模拟)已知双曲线 的左焦点为 F1,过 F1的直线 l
与y轴相交于点 M,与 C的右支相交于点 P,且 M为线段 PF1的中点,若 C的渐近线上存在一点 N,使
得 ,则 C的离心率为( )
A.B.C.2 D.
【 分 析 】 由 题 可 知 , F1( ﹣ c,0) , 直 线 l的 斜 率 一 定 存 在 , 设 其 方 程 为 y=k(x+c) , 则
M(0,kc),P(c,2kc),
将点 P的坐标代入双曲线 C的方程,有 ①,由平面向量的线性坐标运算可得点 N(
, ),代入 y=x得 = ②,联立①②,消去 k,并结合离心率 e= 即可得解.
【解答】解:由题可知,F1(﹣c,0),直线 l的斜率一定存在,设其方程为 y=k(x+c),则
M(0,kc),
∵M为线段 PF1的中点,∴点 P(c,2kc),
将其代入双曲线 C的方程,有 ①,
∵,∴点 N( , ),且点 N在渐近线 y=x上,
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∴=②,
联立①②,消去 k得, ,
∴离心率 e==,
故选:B.
2.(2020•绥化模拟)已知对任意正实数 m,n,p,q,有如下结论成立:若 ,则有 成立,
现已知椭圆 =1上存在一点 P,F1,F2为其焦点,在△PF1F2中,∠PF1F2=15°,∠PF2F1=
75°,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
【 分 析 】 结 合 正 弦 定 理 和 题 中 的 新 定 义 可 知 , , 从 而
,结合正弦的两角和差公式分别算出 sin15°和sin75°,代入上式进行化
简即可得离心率 的值.
【解答】解:在△PF1F2中,由正弦定理知, ,
依题意,有 ,
所以 ,即 ,
sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=sin(45°+15°)=
所以离心率 e= = = .
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