§3.2 导数与函数的单调性
考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究
函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调
性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数 y＝f(x)在区间
(a，b)上可导
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数 f′(x)的零点；
第3步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的正
负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数 f(x)在(a，b)上单调递增，则当 x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数 f(x)在
(a，b)上单调递减，则当 x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数 f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当 x∈(a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数 f(x)
在(a，b)上存在单调递减区间，则当 x∈(a，b)时，f′(x)<0 有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内单调递减．( √ )
(3)若函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则 f(x)在定义域上一定单调递增．( × )
(4)函数 f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( √ )
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若 f′(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是( )
