2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章 §3.5 利用导数研究恒(能)成立问题
§3.5 利用导数研究恒(能)成立问题
考试要求 恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及
其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压
轴题出现，试题难度略大．
题型一 分离参数求参数范围
例1 已知函数 f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝1时，求 f(x)的单调区间与极值；
(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数 a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，
所以 f′(x)＝ex－1，
当x<0 时，f′(x)<0；
当x>0 时，f′(x)>0，
所以 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以当 x＝0时，函数 f(x)有极小值 f(0)＝0，无极大值．
即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，极小值为 0，无极大值．
(2)因为 f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，
所以 ex－x2－ax－1≤0在[0，＋∞)上有解，
当x＝0时，不等式成立，此时 a∈R，
当x>0 时，不等式等价于 a≥－在(0，＋∞)上有解，
令g(x)＝－，
则g′(x)＝－＝，
由(1)知当 a＝1时，f(x)>f(0)＝0，
即ex－(x＋1)>0，
所以当 0<x<1 时，g′(x)<0；
当x>1 时，g′(x)>0，
所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当 x＝1时，g(x)min＝e－2，
所以 a≥e－2，
综上可知，实数 a的取值范围是[e－2，＋∞)．
思维升华 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
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