§3.6 利用导数证明不等式
考试要求 导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、
数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针
对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果．
题型一 将不等式转化为函数的最值问题
例1 (2023·潍坊模拟)已知函数 f(x)＝ex－ax－a，a∈R.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，令 g(x)＝.证明：当 x>0 时，g(x)>1.
(1)解 函数 f(x)＝ex－ax－a的定义域为 R，求导得 f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0 恒成立，即 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0 时，令 f′(x)＝ex－a>0，解得 x>ln a，令 f′(x)<0，解得 x<ln a，
即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当 a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0 时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)证明 当a＝1时，g(x)＝，
当x>0 时，>1⇔ex>1＋x＋⇔<1，
令F(x)＝－1，x>0，F′(x)＝<0 恒成立，则 F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
F(x)<F(0)＝－1＝0，因此<1 成立，
所以当 x>0 时，g(x)>1，即原不等式得证．
思维升华 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，
有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和
最值即可得证．
跟踪训练 1 设a为实数，函数 f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当 a>ln 2－1且x>0 时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)知，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得 x＝ln 2，
当x<ln 2 时，f′(x)<0，
函数 f(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减；
当x>ln 2 时，f′(x)>0，
函数 f(x)在区间(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以 f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
