2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章 必刷大题6 导数的综合问题
必刷大题 6 导数的综合问题
1．(2023·温州模拟)已知函数 f(x)＝x2－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求 f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求 a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.
当x∈时，f′(x)<0，
则f(x)的单调递减区间为，
当x∈时，f′(x)>0，
则f(x)的单调递增区间为.
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝(x>1)，则 h′(x)＝.
当x∈(1，)时，h′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.
所以 h(x)min＝h()＝2e，
则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，
故a的取值范围是[－，]．
2．设 f(x)＝2xln x＋1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当 x＝时，f(x)取得最小值 f＝1－.
(2)证明 令F(x)＝x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－＝≥0，
所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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