§3.8 隐零点与极值点偏移问题
隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最
终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对
称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较
高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大．
题型一 隐零点
例1 (2023·郑州模拟)已知函数 f(x)＝ex＋1－＋1，g(x)＝＋2.
(1)求函数 g(x)的极值；
(2)当x>0 时，证明：f(x)≥g(x)．
(1)解 g(x)＝＋2定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝，
则当 x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，
故函数 g(x)的极大值为 g(e)＝＋2，无极小值．
(2)证明 f(x)≥g(x)等价于证明 xex＋1－2≥ln x＋x(x>0)，
即xex＋1－ln x－x－2≥0.
令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)，
h′(x)＝(x＋1)ex＋1－＝(x＋1)，
令φ(x)＝ex＋1－，则 φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而φ＝ －10<e2－10<0，φ(1)＝e2－1>0，
故φ(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点 x0，且 x0∈，
当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，h′(x)<0，h(x)在(0，x0)上单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，h′(x)>0，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，
故h(x)min＝h(x0)＝ －ln x0－x0－2，又因为 φ(x0)＝0，即 ＝，
所以 h(x0)＝－ln x0－x0－1＝(x0＋1)－x0－1＝0，从而 h(x)≥h(x0)＝0，
即f(x)≥g(x)．
思维升华 零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f′(x0)＝0，并结合 f′(x)
的单调性得到零点的取值范围．
