§3.7 利用导数研究函数的零点
考试要求 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范
围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一
般作为解答题的压轴题出现．
题型一 利用函数性质研究函数的零点
例1 已知函数 f(x)＝xsin x－1.
(1)讨论函数 f(x)在区间上的单调性；
(2)证明：函数 y＝f(x)在[0，π]上有两个零点．
(1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R，
f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，
又f′(x)＝sin x＋xcos x，且当 x∈时，f′(x)≥0，所以函数 f(x)在上单调递增，又函数 f(x)为
偶函数，所以 f(x)在上单调递减，
综上，函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明 由(1)得，f(x)在上单调递增，又 f(0)＝－1<0，f＝－1>0，所以 f(x)在内有且只有一
个零点，
当x∈时，令 g(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x，
则g′(x)＝2cos x－xsin x，当 x∈时 ， g′(x)<0 恒成立，即 g(x)在上单调递减，又 g＝
1>0，g(π)＝－π<0，则存在 m∈，使得 g(m)＝0，
且当 x∈时，g(x)>g(m)＝0，即 f′(x)>0，则 f(x)在上单调递增，
当x∈(m，π]时，有 g(x)<g(m)＝0，即 f′(x)<0，则 f(x)在(m，π]上单调递减，
又f＝－1>0，f(π)＝－1<0，所以 f(x)在(m，π]上有且只有一个零点，
综上，函数 y＝f(x)在[0，π]上有 2个零点．
思维升华 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的
符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零
点的条件．
跟踪训练 1 (2023·芜湖模拟)已知函数 f(x)＝ax＋(a－1)ln x＋－2，a∈R.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若f(x)只有一个零点，求 a的取值范围．
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋－＝，
①若a≤0，则 f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②若a>0，则当 x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当 x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当 a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当 a>0 时，f(x)在上单调递减，在上单调递
