必刷小题 5 导数及其应用
一、单项选择题
1．函数 f(x)＝(2x－1)ex的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为函数 f(x)＝(2x－1)ex，所以 f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex，
令f′(x)>0，解得 x>－，
所以函数 f(x)的单调递增区间为.
2．(2023·茂名模拟)若曲线 y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为 3x－y－2＝0，则有(
)
A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1
C．a＝－2，b＝1 D．a＝2，b＝－1
答案 B
解析 将x＝1代入 3x－y－2＝0得y＝1，则 f(1)＝1，
则1＋a＋b＝1，①
∵f(x)＝x2＋ax＋b，
∴f′(x)＝2x＋a，则 f′(1)＝3，即 2＋a＝3，②
联立①②，解得 a＝1，b＝－1.
3．已知 x＝0是函数 f(x)＝eax－ln(x＋a)的极值点，则 a等于( )
A．1 B．2 C．e D．±1
答案 A
解析 因为 f(x)＝eax－ln(x＋a)，
所以 f′(x)＝aeax－.
又x＝0是f(x)的极值点，
所以 a－＝0，
解得 a＝±1，经检验知 a＝－1不符合条件，故 a＝1.
4．(2023·济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数
f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间 (a，b)内的导数为 f′(x)，那么在区间
(a，b)内至少存在一点 c，使得 f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中 c叫做 f(x)在[a，b]上的
“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值
点”的个数为( )
