2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章 §4.4 简单的三角恒等变换
§4.4 简单的三角恒等变换
考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公
式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要
求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α：sin 2α＝2sin α cos α .
(2)公式 C2α：cos 2α＝cos 2
α － sin 2
α ＝2cos 2
α － 1 ＝1 － 2sin 2
α .
(3)公式 T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ )
(2)存在实数 α，使 tan 2α＝2tan α.( √ )
(3)cos2＝.( √ )
(4)tan ＝＝.( √ )
教材改编题
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 (公式法)因为 cos ＝sin＝sin%，所以 cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
方法二 (代值法)因为 cos＝，cos%＝，
所以 cos2－cos2＝2－2＝.
2．若角 α满足 sin α＋2cos α＝0，则 tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意知，tan α＝－2，所以 tan 2α＝＝.
3．若 α为第二象限角，sin α＝，则 sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 因为 α为第二象限角，sin α＝，
所以 cos α＝－＝－＝－，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
题型一 三角函数式的化简
例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则 tan α等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 方法一 因为 tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得 sin α＝.
因为 α∈，
所以 cos α＝，tan α＝＝.
方法二 因为 tan 2α＝＝＝＝，且 tan 2α＝，所以＝，解得 sin α＝.
因为 α∈，
所以 cos α＝，tan α＝＝.
(2)已知 sin α＋cos α＝，则 sin2＝________.
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