必刷大题 9 解三角形
1．(2023·郑州模拟)已知△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 2ccos C＝
acos B－bcos(B＋C)．
(1)求角 C；
(2)若c＝6，△ABC 的面积 S＝6bsin B，求 S.
解 (1)因为 A＋B＋C＝π，所以 cos(B＋C)＝－cos A，
所以 2ccos C＝acos B＋bcos A，
由正弦定理得 2sin Ccos C＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)．
因为 sin(A＋B)＝sin C，所以 2sin Ccos C＝sin C.
因为 C∈(0，π)，所以 sin C≠0，所以 cos C＝，则 C＝.
(2)由S＝6bsin B，根据面积公式得 6bsin B＝acsin B＝3asin B，所以 a＝2b.
由余弦定理得 cos C＝＝，
整理得 a2＋b2－ab＝36，即 3b2＝36，
所以 b＝2，a＝4.
所以△ABC 的面积 S＝absin C＝×4×2sin＝6.
2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，a＝bsin
2C＋2c(sin A－sin Bcos C)．
(1)求sin C的值；
(2)在BC 的延长线上有一点 D，使得∠DAC＝，AD＝10，求 AC，CD.
解 (1)在锐角△ABC 中，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)，
由正弦定理得 sin A＝2sin Bsin Ccos C＋2sin C(sin A－sin Bcos C)＝2sin Asin C，而 sin A>0，
所以 sin C＝.
(2)因为△ABC 是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，
sin∠ADC＝sin＝(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，
在△ACD 中，由正弦定理得＝＝，
即＝＝＝5，解得 CD＝，AC＝，
所以 CD＝，AC＝.
3．(2023·德州模拟)在① asin B＝bsin；②(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C；
③bsin ＝asin B三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．
