2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章 §1.4 基本不等式
§1.4 基本不等式
考试要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基
本不等式在实际问题中的应用．
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b
时，等号成立．
(3)其中叫做正数 a，b的算术平均数，叫做正数 a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知 x，y都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y时，和 x＋y有最小值 2.
(2)已知 x，y都是正数，如果和 x＋y等于定值 S，那么当 x＝y时，积 xy 有最大值 S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式 ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．( × )
(2)y＝x＋的最小值是 2.( × )
(3)若x>0，y>0 且x＋y＝xy，则 xy 的最小值为 4.( √ )
(4)函数 y＝sin x＋，x∈的最小值为 4.( × )
教材改编题
1．若正实数 a，b满足 a＋4b＝ab，则 ab 的最小值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 因为正实数 a，b满足 a＋4b＝ab，
所以 ab＝a＋4b≥2＝4，
所以 ab≥16，
当且仅当 a＝4b，即 a＝8，b＝2时等号成立．
2．函数 y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
答案 1
解析 因为 x≥0，所以 x＋1>0，>0，
利用基本不等式得 y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，
当且仅当 x＋1＝，即 x＝0时，等号成立．
所以函数 y＝x＋(x≥0)的最小值为 1.
3．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案 25
解析 设矩形的一边为 x m，面积为 y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
其中 0<x<10，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当 x＝10－x，即 x＝5时，等号成立，
∴ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是 25 m2.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点 1 配凑法
例1 (1)已知 x>2，则函数 y＝x＋的最小值是( )
A．2 B．2＋2
C．2 D.＋2
答案 D
解析 由题意可知，x－2>0，
∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当 x＝2＋时，等号成立，
∴函数 y＝x＋(x>2)的最小值为＋2.
(2)设0<x<，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________．
答案
解析 ∵0<x<，∴3－2x>0，
y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝时，等号成立．
∵∈，
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