(4)若T是函数 f(x)的一个周期，则 kT(k∈N*)也是函数的一个周期．( √ )
教材改编题
1．若偶函数 f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数 f(x)在区间[1,2]上( )
A．单调递增，且有最小值 f(1)
B．单调递增，且有最大值 f(1)
C．单调递减，且有最小值 f(2)
D．单调递减，且有最大值 f(2)
答案 A
解析 偶函数 f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，
则由偶函数的图象关于 y轴对称，则有 f(x)在[1,2]上单调递增，
即有最小值为 f(1)，最大值为 f(2)．
对照选项，A正确．
2．已知函数 y＝f(x)是奇函数，且当 x>0 时，有 f(x)＝x＋2x，则 f(－2)＝________.
答案 －6
解析 因为函数 y＝f(x)是奇函数，且当 x>0 时，有 f(x)＝x＋2x，
所以 f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
3．已知函数 f(x)是定义在 R上的周期为 4的奇函数，若 f(1)＝1，则 f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 因为函数 f(x)是定义在 R上的周期为 4的奇函数，
所以 f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A．奇函数的图象一定过坐标原点
B．函数 y＝xsin x是偶函数
C．函数 y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数
D．函数 y＝是奇函数
答案 BC
解析 对于 A，只有奇函数在 x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以 A不正确；
对于 B，因为函数 y＝xsin x的定义域为 R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，
所以该函数为偶函数，所以 B正确；
对于 C，函数 y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为 R关于原点对称，
且满足 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即 f(－x)＝－f(x)，
所以函数为奇函数，所以 C正确；
