2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 §2.5 函数性质的综合应用[培优课]
§2.5 函数性质的综合应用
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数
的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
题型一 函数的奇偶性与单调性
例1 (2020·新高考全国Ⅰ)若定义在 R上的奇函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，
则满足 xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数 f(x)为定义在 R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，
画出函数 f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数 f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
(1) (2)
当x≤0时，要满足 xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0 时，要满足 xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得 1≤x≤3.
故满足 xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式
的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一
单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
跟踪训练 1 (2023·合肥质检)若f(x)是定义在 R上的偶函数，对∀x1，x2∈(－∞，0]，当
x1≠x2时，都有>0，则 a＝f(sin 3)，b＝f，c＝f(21.5)的大小关系是( )
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