2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 §2.11 函数的零点与方程的解
§2.11 函数的零点与方程的解
考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0
的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程 f(x)＝0有实数解⇔函数 y＝f(x)有零点⇔函数 y＝f(x)的图象与 x
轴 有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函数
y＝f(x)在区间( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c也就是方程
f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a ) f ( b )<0
的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在
区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分
法．
常用结论
1．若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与 x轴的交点．( × )
(2)连续函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)<0.( × )
(3)函数 y＝f(x)为R上的单调函数，则 f(x)有且仅有一个零点．( × )
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．( √ )
教材改编题
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
答案 A
解析 由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零
点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故 A选项中函数零点可
以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．
2．函数 y＝－ln x的零点所在区间是( )
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
答案 B
解析 因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数 y＝在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，
＋∞)上单调递减，
所以函数 y＝－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，
又当 x＝2时，y＝－ln 2>0；
当x＝3时，y＝1－ln 3<0，
两函数值异号，
所以函数 y＝－ln x的零点所在区间是(2,3)．
3．函数 f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在R上单调递增，又 f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函
数f(x)有且只有一个零点．
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)函数 f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )
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