|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则 a·b>0；若 a·b>0，则 a与b的夹角为锐角或 0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则 a·b<0；若 a·b<0，则 a与b的夹角为钝角或 π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( × )
(2)若a，b共线，则 a·b＝|a|·|b|.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c，则 b＝c.( × )
教材改编题
1．已知向量 a，b满足|a|＝2，|b|＝，且 a与b的夹角为 30°，那么 a·b等于( )
A．1 B. C．3 D．3
答案 C
解析 由题意可得 a·b＝|a|·|b|cos 30°＝2××＝3.
2．已知向量 a，b的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
3．若向量 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则 a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于______
__．
答案 5
解析 因为 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
所以 a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，
所以 cos〈a，b〉＝＝＝.
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·广州模拟)在平面四边形 ABCD 中，已知AB＝DC，P为CD 上一点，CP＝
3PD，|AB|＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为 θ，且 cos θ＝，则AP·PB等于( )
A．8 B．－8 C．2 D．－2
