2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章 §5.4 平面向量的综合应用[培优课]
§5.4 平面向量的综合应用
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝，点 D在线段 BC 上，且 BD＝3DC，AD＝，则
△ABC 的面积的最大值为________．
答案
解析 设△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，因为 BD＝3DC，AD＝AB＋
AC，
又AD＝，cos∠BAC＝，
所以AD2＝2＝c2＋b2＋bccos∠BAC
＝c2＋b2＋bc，
又＝c2＋b2＋bc＝2＋2＋bc≥2×c×b＋bc＝bc，
当且仅当 c＝3b时，等号成立．
所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝，
所以 S△ABC＝bcsin∠BAC≤×8×＝.
(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA＝a，CB＝b，D是AC 的中点，CB＝2BE，试用 a，b表示
DE为________，若AB⊥DE，则∠ACB 的最大值为________．
答案 b－a
解析 DE＝CE－CD＝b－a，
AB＝CB－CA＝b－a，
由AB⊥DE得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，
所以 cos∠ACB＝＝≥＝，
当且仅当|a|＝|b|时取等号，而 0<∠ACB<π，
所以∠ACB∈.
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