必刷大题 12 数列的综合问题
1．(2023·怀仁模拟)在递增的等比数列{an}中，前 n项和为 Sn，＝，a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3a2n－1，求数列{bn}的前 n项和 Tn.
解 (1)设等比数列{an}的公比为 q，
由＝，得 S4＝4S2,
所以 a3＋a4＝3(a1＋a2)，即(a1＋a2)q2＝3(a1＋a2)，
所以 q2＝3，
因为等比数列{an}递增，所以 q＝，
所以 an＝a1qn－1＝.
(2)由(1)可得 a2n－1＝3n－1，所以 bn＝log3a2n－1＝n－1，
故Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1＝.
2．(2022·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1＝2，S3＝a3＋6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前 n项和 Tn.
解 (1)设数列{an}的公比为 q，由 a1＝2，S3＝a3＋6，
得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得 q＝2，
所以 an＝2n.
(2)由(1)可得 bn＝log2an＝n，所以 anbn＝n·2n，
Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以 Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前 n项和
为Sn，求 S100.
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，
因为 b2＝4，所以 a2＝2log2b2＝4，
所以 d＝a2－a1＝2，
