§6.4 数列中的构造问题
数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新
的数列求数列的通项公式．
题型一 形如 an＋1＝pan＋f(n)型
命题点 1 an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)
例1 (1)数列{an}满足 an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则 a2 024 等于( )
A．22 023－1 B．42 023－1
C．22 023＋1 D．42 023＋1
答案 B
解析 ∵an＝4an－1＋3(n≥2)，
∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，
∴{an＋1}是以 1为首项，4为公比的等比数列，
则an＋1＝4n－1.
∴an＝4n－1－1，
∴a2 024＝42 023－1.
(2)已知数列{an}的首项 a1＝1，且＝＋2，则数列{an}的通项公式为__________．
答案 an＝
解析 ∵＝＋2，等式两边同时加 1整理得＋1＝3，
又∵a1＝1，∴＋1＝2，
∴是首项为 2，公比为 3的等比数列．
∴＋1＝2·3n－1，∴an＝.
命题点 2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例2 已知数列{an}满足 an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．
解 ∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴＝2，
∴数列{an－n}是以 a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－n＝2·2n－1＝2n，
∴an＝2n＋n.
命题点 3 an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
