§6.6 数列中的综合问题
考试要求 数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考
的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、
前n项和公式等．
题型一 等差数列、等比数列的综合运算
例1 (2023·厦门模拟)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn＝n2＋n，递增的等比数列{bn}满
足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前 n项和 Tn.
解 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋n－＝3n－1，
又∵当 n＝1时，a1＝S1＝2符合上式，
∴an＝3n－1.
∵b2b3＝b1b4，
∴b1，b4是方程 x2－18x＋32＝0的两根，
又∵b4>b1，
∴解得 b1＝2，b4＝16，
∴q3＝＝8，
∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.
(2)∵an＝3n－1，bn＝2n，
则cn＝(3n－1)·2n，
∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，
2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，
将两式相减得－Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1
＝4＋3－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8，
∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.
思维升华 数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类
问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
跟踪训练 1 (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前 n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
