解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为 O1，O2，连接 O1O2(图略)，则 O1O2＝1，其外接
球的球心 O在直线 O1O2上．
设球 O的半径为 R，当球心 O在线段 O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得 OO1＝
4(舍去)；
当球心 O不在线段 O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得 OO2＝3，
所以 R2＝25，
所以该球的表面积为 4πR2＝100π.
综上，该球的表面积为 100π.
思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
跟踪训练 1 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1的6个顶点都在球 O的球面上，若 AB＝3，AC＝
4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O的半径为( )
A. B．2 C. D．3
答案 C
解析 由题意作图如图，过球心 O作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.
∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又 AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
∴球O的半径 R＝OA＝＝.
题型二 补形法
例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形 ABCD 中，E，F分别为线段 AB ，BC 的中点，连接
DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使 A，B，C三点重
合，得到三棱锥 O－DEF，则该三棱锥的外接球半径 R与内切球半径 r的比值为( )
A.2 B．4 C．2 D.
答案 C
解析 因为在正方形 ABCD 中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以折起后 OD，OE，OF 两两互相垂直，
