§7.6 空间向量的概念与运算
考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的
正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及
其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向
量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行
或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 λ，使 a＝
λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a，b共面的充要条件是存
在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组
(x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量 a，b的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0
