§7.7 向量法求空间角
考试要求 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解
决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线 l1，l2所成的角为 θ，其方向向量分别是 u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直线与平面所成的角
如图，直线 AB 与平面 α相交于点 B，设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，直线 AB 的方向向
量为 u，平面 α的法向量为 n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3．平面与平面的夹角
如图，平面 α与平面 β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角
称为平面 α与平面 β的夹角．
若平面 α，β的法向量分别是 n1和n2，则平面 α与平面 β的夹角即为向量 n1和n2的夹角或其
补角．设平面 α与平面 β的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )
(3)两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是.( √ )
(4)直线的方向向量为 u，平面的法向量为 n，则线面角 θ满足 sin θ＝cos〈u，n〉．( × )
教材改编题
1．已知向量 m，n分别是直线 l和平面 α的方向向量和法向量，若 cos 〈m，n〉＝－，则直
线l与平面 α所成的角为( )
