2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章 必刷大题14 空间向量与立体几何
必刷大题 14 空间向量与立体几何
1．(2022·新高考全国Ⅰ改编)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1的体积为 4，△A1BC 的面积为 2.
(1)求A到平面 A1BC 的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面 A1BC⊥平面 ABB1A1，求平面 ABD 与平面 BCD 夹角
的正弦值．
解 (1)设点 A到平面 A1BC 的距离为 h，
因为直三棱柱 ABC－A1B1C1的体积为 4，
所以 ＝S△ABC·AA1
，
又△A1BC 的面积为 2，
＝×2h＝，
所以 h＝，
即点 A到平面 A1BC 的距离为.
(2)取A1B的中点 E，连接 AE，
则AE⊥A1B.
因为平面 A1BC⊥平面 ABB1A1，平面 A1BC∩平面 ABB1A1＝A1B，AE⊂平面 ABB1A1，
所以 AE⊥平面 A1BC，
又BC⊂平面 A1BC，所以 AE⊥BC.
又AA1⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，
所以 AA1⊥BC.
因为 AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面 ABB1A1，所以 BC⊥平面 ABB1A1，
又AB⊂平面 ABB1A1，所以 BC⊥AB.
以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1的方向为 x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系，
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