2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]
§8.9 圆锥曲线压轴小题突破练
题型一 离心率范围问题
例1 (1)已知 F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线 x＝与 x轴的交点为 A，在椭圆上存在
点P满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,1] D.
答案 D
解析 由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F点到 P点与 A点
的距离相等，
又|FA|＝－c＝，|PF|∈[a－c，a＋c]，
∴[∈a－c，a＋c]，
∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴
∴又∵e∈(0,1)，
∴e∈.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点 F1，F2为双曲线的两个焦点，
以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点 P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率
的取值范围是( )
A. B．[＋1，＋∞)
C. D．(1，＋1]
答案 D
解析 由题意＝sin∠PF1F2≤sin&＝，
所以 0<|PF2|≤c，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，
所以 4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得 2a2＋2ac－c2≥0，
所以 e2－2e－2≤0，又 e>1，故解得 1<e≤＋1.
思维升华 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略
(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于 a，b，c的不等式或不等式
组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到
焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．
(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关
系．
跟踪训练 1 (1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点 F1与F2的椭圆和
双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则 e1e2的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，不妨设|PF1|>|PF2|，
由椭圆和双曲线的定义可得
得
设|F1F2|＝2c，
因为∠F1PF2＝，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，
整理得 a＋3a＝4c2，
故＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即2≥，所以 e1e2≥，
即e1e2的最小值为，
当且仅当＝，
即e1＝，e2＝时，等号成立．
(2)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)，点 P是C上任意一点，若圆 O：x2＋y2＝b2上存在点 M，N，
使得∠MPN＝120°，则 C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 连接 OP，当 P不为椭圆的上、下顶点时，
设直线 PA，PB 分别与圆 O切于点 A，B，∠OPA＝α，
∵存在 M，N使得∠MPN＝120°，
∴∠APB≥120°，即 α≥60°，
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