§8.11 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 (2023·淄博模拟)已知 F(，0)是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点 M在椭圆 C上．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，且 kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线 l的斜率的
取值范围．
解 (1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点 M到两焦点的距离之和为＋＝4，
即2a＝4，所以 a＝2，
又因为 c＝，可得 b＝＝1，
所以椭圆 C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线 l的斜率不存在或斜率为 0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线 l的方程为 y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以 kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，
由kOA＋kOB＝－，可得 m2＝4k＋1，
所以 k≥－，
又由 Δ>0，可得 16(4k2－m2＋1)>0，所以 4k2－4k>0，解得 k<0 或k>1，
综上可得，直线 l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
思维升华 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等
量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取
值范围．
跟踪训练 1 (2022·济宁模拟)已知抛物线 E：y2＝2px(p>0)上一点 C(1，y0)到其焦点 F的距离
为2.
