2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章 必刷大题17 解析几何
必刷大题 17 解析几何
1．(2022·南通模拟)已知 P为抛物线 C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF 与
C交于点 Q(异于点 P)．直线 l与C相切于点 P，与 x轴交于点 M.过点 P作l的垂线交 C于另
一点 N.
(1)证明：线段 MP 的中点在定直线上；
(2)若点 P的坐标为(2,2)，试判断 M，Q，N三点是否共线．
解 (1)设P(x0，y0)，则 y＝4x0，
因为点 P在第一象限，
所以 y0＝2，
对y＝2两边求导得 y′＝，
所以直线 l的斜率为，
所以直线 l的方程为 y－2＝(x－x0)，
令y＝0，则 x＝－x0，
所以 M(－x0,0)，
所以线段 MP 的中点为，
所以线段 MP 的中点在定直线 x＝0上．
(2)若P(2,2)，则 M(－2,0)．
所以 kMP＝，kPF＝2，
因为 PN⊥l，
所以 kPN＝－，
所以直线 PF：y＝2(x－1)，
直线 PN：y＝－(x－4)．
由得 2x2－5x＋2＝0，
所以 x＝或 2，
所以 Q，
由得 x2－10x＋16＝0，
所以 x＝2或8，
所以 N(8，－4)．
因为 M(－2,0)，Q，N(8，－4)，
所以 kMQ＝－，kMN＝－，
所以 M，Q，N三点共线．
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