2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章 §8.13 圆锥曲线中探索性与综合性问题
§8.13 圆锥曲线中探索性与综合性问题
题型一 探索性问题
例1 (2023·南通模拟)已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，且过点.
(1)求双曲线 C的标准方程；
(2)设Q为双曲线 C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线 C的右焦点，在 x轴的负半轴
上是否存在定点 M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明
理由．
解 (1)依题意结合 c2＝a2＋b2，
解得 a＝1，b＝，c＝2.
所以双曲线 C的标准方程为 x2－＝1.
(2)假设存在点 M(t,0)(t<0)满足题设条件．
由(1)知双曲线 C的右焦点为 F(2,0)．
设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线 C右支上一点．
当x0＝2时，
因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝3，
所以 t＝－1.即M(－1,0)．
当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－，
tan∠QMF＝kQM＝.
因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将y＝3x－3代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3，
所以
解得 t＝－1.即M(－1,0)．
综上，满足条件的点 M存在，其坐标为(－1,0)．
免费试读已结束，如果需要继续阅读，请您下载
本文档需要3知币
