第13讲 函数与方程及函数模型的应用（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版
2025 年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第13 讲 函数与方程及函数模型的应用（精讲）
①求函数的零点和零点所在区间问题
②与零点有关的参数问题
③二分法的应用
④常见函数模型①-二次函数和分段函
数
⑤常见函数模型②-指对幂函数
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
四、二分法
（1）定义：对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值.
一、必备知识整合
（2）用二分法求函数 零点近似值的步骤
① 确定区间 ，验证 ，给定精度 .
② 求区间 的中点 .
③ 计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
④ 判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）~（4）
步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）
五、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型
六、解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
函数的零点相关技巧:
① 若连续不断的函数
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