思维拓展01 柯西不等式与权方和不等式的应用（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版
2025 年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 01 柯西不等式与权方和不等式（精讲+精练）
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3. 扩 展 ： ， 当 且 仅 当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对 ，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立.
证明 1：
要证
只需证
即证
故只要证
一、知识点梳理
当且仅当 时，等号成立
即，当且仅当 时，等号成立.
证明 2：对柯西不等式变形，易得 在 时，就有了
当 时，等号成立．
推广 1： 当 时，等号成立．
推广:2：若 ，则 ，当 时，等号成立.
推广 3：若 ，则 ，当 时，等
号成立.
【典例 1】实数 x、y满足 ，则 x+y的最大值是________.
解： ，则
所以 ，当且仅当 时等号成立.
答案：
【典例 2】设 ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 .
【分析】(1)根据条件 ，和柯西不等式得到 ，再讨论 是
否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的 代入原不等式，便可得到
参数 的取值范围.
【详解】(1) 故
二、题型精讲精练
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