思维拓展03 函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版
2025 年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 03 函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精
练）
①一元二次不等式中的恒成立和有解问
题
②基本不等式中的恒成立问题
③函数不等式中的恒成立和有解问题
一、恒成立和有解问题思路一览
设函数 的值域为 或 ，或 或 中之一种，则
①若 恒成立（即 无解），则 ；
②若 恒成立（即 无解），则 ；
③若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
④若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
⑤若 有解（即 无解），则 ；
⑥若 无解（即 有解），则 ．
【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如 ；
②倒数法分离参数：如 ；
【当 的值有可能取到，而 的值一定不为 0时，可用倒数法分离参数．】
一、必备知识整合
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如 ；
⑤不完全分离参数法：如 ；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数
或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，
再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
①在 上是增函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
③在 上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
①，使得方程 成立 ．
②，使得方程 成 ．
五、其他恒成立类型三
①， ；
②， ；
③， ；
④， ．
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