思维拓展05 嵌套函数的零点问题（精讲 精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版
2025 年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 05 嵌套函数的零点问题（精讲+精练）
一、嵌套函数形式：形如
二、解决嵌套函数零点个数的一般步骤
(1)换元解套，转化为 t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令 f(t)＝0，求 t，代入 t＝g(x)求出 x的值或判断图象交点个数．
注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
【典例 1】（单选题）（23-24 高二下·云南·阶段练习）设 ，函数 ，若函数
恰有 3个零点，则实数 的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令 ，先考虑 时，函数 在 上有 2个零点，再考虑 ，分
与 两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案.
【详解】设 ，当 时， ，此时 ，
由 得 ，即 ，解得 或 ，
所以 在 上有 2个零点，
时，若 ，对称轴为 ，
函数 的大致图象如下：
此时 ，即 ，则 ，
所以 无解，则 无零点， 无零点，
综上，此时 只有两个零点，不符合题意，
若 ，此时 的大致图象如下：
令 ，解得 ，
显然令 在 上存在唯一负解，
要使 恰有 3个零点，
只需 在 上除 或 外不能再有其他解，
即 不能再有除 或 外的其他解，
故 ，即 ，解得 ，
所以 .
故选：D
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内
层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个
数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若关于 的方程 有五个不等的实
数解，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到 的大致图象，令 ，则 化为
，分 、 、 、 、 、 六种情况讨论，结合函数图象即可得解.
【详解】由 ，
当 时 ，函数在 上单调递减，且 ， ，当 时 ，
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