思维拓展07 新高考压轴题中函数的新定义问题（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版
2025 年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 07 新高考压轴题中函数的新定义问题
（精讲+精练）
①定义新性
质
②定义新概
念
③定义新运
算
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决
问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本
质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是
制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书
上的概念.
【典例 1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线
一、必备知识整合
二、考点分类精讲
年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为 ，其中 为参数．当 时，该表达式就是双曲
余弦函数，记为 ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知
三角函数满足性质：①导数： ；②二倍角公式： ；③平方关系：
．定义双曲正弦函数为 ．
(1)写出 ， 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
(3)正项数列满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2) ，
(3)存在实数 ，使得 成立．
【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；
（2）构造函数 ，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求 的取值范围即可；
（3）方法一、求出 ， ， ，猜想 ，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列，根据
，利用递推公式求解即可．
【详解】（1）①导数： ， ，证明如下：
，
②二倍角公式： ，证明如下：
；
③平方关系： ，证明如下：
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